パンルヴェ方程式について

パンルヴェ方程式とは
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パンルヴェ方程式とは

パンルヴェ方程式とは、次の6つの複素解析的2階非線形常微分方程式の総称です。
(上から第Ⅰ〜第Ⅵ方程式)

$$ \frac{d^2y}{dx^2} = 6y^2 + x $$
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = 2y^3 + xy + \alpha $$
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 – \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}(\alpha y^2 + \beta) + \gamma y^3 + \frac{\delta}{y} $$
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{3}{2}y^3 + 4xy^2 + 2(x^2 – \alpha)y + \frac{\beta}{y} $$
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{1}{2y} + \frac{1}{x – 1} \right)\left(\frac{dy}{dx} \right)^2 – \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + \frac{(y-1)^2}{x^2} \left(\alpha y + \frac{\beta}{y} \right)+ \gamma \frac{y}{x} + \delta\frac{y(y+1)}{y-1} $$
$$
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{y-1} + \frac{1}{y-x} \right) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 – \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{y-x} \right) \frac{dy}{dx}\\
&+ \frac{y(y-1)(y-x)}{x^2(x-1)^2} \left\{ \alpha + \beta \frac{x}{y^2} + \gamma \frac{x-1}{(y-1)^2} + \delta \frac{x(x-1)}{(y-x)^2} \right\}
\end{split}
\end{equation}
$$

ここで $ y $は従属変数、 $ x $は独立変数、 $ \alpha、\beta $などのギリシャ文字は定数を表すこととします。

またすべて複素解析的な範疇で考えるので、変数は複素変数、定数も複素定数とし、この方程式は複素変数 $ x $ の正則函数 $ y(x) $ についての微分方程式と考えることとします。

このパンルヴェ方程式は新しい特殊函数を見つけようという試みの中で、1900年頃にP. Painlevéによって発見されました。

またその発見後間もなく、ある2階の線形常微分方程式のモノドロミーの問題と関連して、上記のパンルヴェ第Ⅵ方程式が現れました。

しかし、それらの結果はすぐ忘れ去られてしまいます。

(P. Painlevé はその後国会議員となり、1917年と1925年にはフランス首相を務めました)

パンルヴェ方程式の「復活」は1973年, 物理学のイジング模型の研究においてパンルヴェ第Ⅲ程式が現れたことに起因します。

その後は数理物理等の発展に伴い、パンルヴェ方程式の研究は大きく進展しています。